Polos e Zeros - Função plzr()

Polos e Zeros

O que é ?

Figura 1.

Antes de falarmos de polos e zeros, vamos começar pela definição de função de transferência (FT). Temos que, a FT de um sistema linear nada mais é do que a relação entre a transformada de Laplace   da variável de saída com a transformada de Laplace da variável de entrada. Vale lembrar que as condições iniciais devem ser zero.

  

Figura 2.

A FT do sistema representado no diagrama da figura 1 é a função G(s) (figura 2), em que a variável s (minúsculo) é chamada de frequência complexa. S(s) e E(s) são polinômios. E(s) é chamado de polinômio característico do sistema, sendo o grau n-ésimo desse polinômio  a ordem do sistema. Agora vamos as definições de polos e zeros.

• Polos: São os valores de s, de E(s) de uma função de transferência, que fazem com que a FT se torne infinita. Em outras palavras, são as raízes de E(s) = 0 
• Zeros: São os valores de s, de S(s) de uma função de transferência, que fazem com que a FT se torne zero. Em outras palavras, são as raízes de S(s) = 0.
  
  

Figura 3.

Os polos e zeros de um sistema podem ser reais ou complexos. Têm representação geo-métrica no plano complexo s. Os polos são representados por um x, já os zeros são simbolizados por um pequeno círculo (o). Como exemplo, temos o sistema da figura 3, nesse caso o zero é -3 e o polo é -2. Abaixo segue um gráfico com a representação do polo e do zero desse sistema.

Figura 4.

Pra que serve ?

O uso de técnicas como a resolução de equações diferenciais com a aplicação da transformada inversa de Laplace, possibilita a obtenção da resposta de saída de um sistema, mas essas técnicas demandam muito tempo e são trabalhosas. Uma alternativa são as técnicas de análise e projeto, que fornecem resultados em um intervalo de tempo relativamente curto. A utilização dos polos e zeros e de sua relação com a resposta no domínio do tempo de um sistema é uma técnica deste tipo. Entender essa relação proporciona uma abordagem qualitativa aos problemas. O conceito de polos e zeros, é muito importante para análise de projetos de sistemas de controle, pois simplifica o cálculo da resposta de um sistema, que é formada pela soma da resposta forçada e da resposta natural.
Outra aplicação é na verificação da estabilidade do sistema. Um sistema linear e invariante no tempo é estável se a resposta natural se aproxima de zero quando o tempo tende a infinito. Se a resposta natural cresce sem limites quando o tempo tende a infinito, ele será instável. Também poderá ser classificado como marginalmente estável se a resposta natural nem cai e nem cresce mas permanece constante ou oscila quando o tempo tende a infinito. Desse modo, a definição de estabilidade implica que somente a resposta forçada permanece à medida que a resposta natural se aproxima de zero.
Em outras palavras:

• Sistema estável: toda entrada limitada leva a uma saída limitada;
• Sistema instável: qualquer entrada limitada leva a uma saída ilimitada;
• Sistema marginalmente estável: se o sistema for estável para algumas entradas limitadas e instável para outras. 

A classificação acima apresentada pode ser feita considerando a localização dos polos no plano complexo.

• Sistema estável: os polos de um sistema de malha fechada estão no semi-plano esquerdo (possuem parte real negativa), Assim, sistemas estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com polos apenas no semi-plano da esquerda;
• Sistema instável: Possui função de transferência em malha fechada com pelo menos um polo no semi-plano da direita ou polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário;
• Sistema marginalmente estável: Possui função de transferência em malha fechada com apenas polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 e polos no semi-plano esquerdo. 

    

Como usar no SciLab ?

Obs: Antes de usarmos o Scilab, vale lembrar que é preciso determinar a função transferência equivalente que representa todo o sistema, pois é com ela que a análise dos polos e zeros é feita.

No script da figura 5, inicialmente limpamos o console com o comando clc (linha 0017), para evitar que o espaço de trabalho fique poluído visualmente. Depois apagamos qualquer variável salva, usando clear (linha 0018), isso garante que variáveis salvas não mascarem o resultado ou o funcionamento do nosso programa. Na sequência, com a função poly() (linha 0019), é definido a letra " s ", como a variável dos polinômios do denominador (linha 0022) e do numerador (linha 0021) das FT. Com a função syslin() (linha 0023) é criada a função de transferência H, que para o SciLab é uma variável do tipo lista. A função figure() (linha 0024) é usada para criar uma janela gráfica, no caso, com uma ID =  0. Com a função clf() (linha 0025), limpamos a janela gráfica recém criada, o que faz com que seu fundo fique branco, ao invés de cinza. Por fim chamamos a função plzr() (linha 0026), usando como entrada a FT H. Como retorno da plzr(), temos uma janela gráfica (com ID igual a zero) e que exibe os polos e zeros da função H, no plano complexo.

Figura 5.

Os procedimentos anteriormente descritos são repetidos para mais três FT distintas, o que gera um total de quatro janelas gráficas (figuras 6, 7, 8 e 9). 

Figura 6.

Figura 7.

Figura 8.

Figura 9.

A função plzr()

Figura 10.

Esta função realiza o esboço de polos e zeros de um sistema linear. Sua sintaxe encontra-se na figura 10. Como é possível observar, há somente um parâmetro de entrada, chamado de s1. Este parâmetro representa um sistema linear criado com a função syslin(), na prática a função syslin() cria uma variável do tipo lista. O retorno da função plzr() é uma janela gráfica com a localização dos polos e dos zeros de uma FT, em um plano complexo.

Scripts testados com: Scilab 5.5.2 (64-bit)

                                       Scilab 6.0.0 (64-bit)