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Sistemas de Equações de 1º Grau

Sistemas de Equações de 1º Grau

O que é ?

Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, a Figura 1.


Figura 1 - Exemplo de sistema de equações lineares.

Nela há um sistema de três equações com três variáveis (x, y e z). Uma solução para um sistema linear é uma atribuição de números às variáveis que satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema. Uma solução para o sistema acima é dada por

Figura 2 - Solução do sistema da Figura 1.

já que esses valores tornam válidas as três equações do sistema em questão. A palavra "sistema" indica que as equações devem ser consideradas em conjunto, e não de forma individual. [1]

Pra que serve ?

Vários problemas de engenharia podem recair sobre a resolução um sistema de equações. No caso da engenharia elétrica isso é muito comum quando trabalhamos na análise de circuitos elétricos. Alguns métodos empregados, como a análise de malhas e a análise nodal inevitavelmente levam a um sistema de equações, que necessita ser resolvido a fim de se obter os valores de tensão e/ou corrente presente em cada parte do circuito.  

Como usar no SciLab ? [2]

Vamos considerar como exemplo a resolução do sistema linear abaixo.

Figura 1 - Sistema linear a ser resolvido.

O primeiro passo é escrever este sistema na forma matricial. Serão duas matrizes, uma dos coeficientes das equações e outra com os termos independentes. Logo, temos que a matriz dos termos dependentes pode ser escrita como A = [2 3 -5;6 -2 1;1 3 -1], já a outra matriz será escrita como b = [-7; 5; 4]. No console estas matrizes são exibidas conforme as Figuras 4 e 5.

Figura 4 - Matriz dos coeficientes da equação.
Figura 5 - Matriz dos termos independentes.

A solução do sistema é armazenada na matriz w = [x; y; z] que pode ser determinada de quatro formas diferentes, como mostrado logo abaixo.

1. Função inv() 

A função inv() calcula a inversa de uma matriz.
 
w = inv(A) * b;
Figura 6 - Solução do sistema.

2. Por meio \

Este operador representa divisão à esquerda.

 w = A\b;

Figura 7 - Solução do sistema.


3. Função linsove()
A função linsolve() calcula todas as soluções da equação A* x + c = 0. Observe que o vetor c é igual ao vetor -b. Assim, podemos resolver o problema da seguinte forma:

Figura 8 - Solução por linsolve().

Sintaxe da função linsolve()

[x0,kerA]=linsolve(A,b [,x0])









x0 :     Solução particular do sistema (se existir).
kerA : nullspace de A.
Qualquer x = x0 + kerA * q com q arbitrário satisfaz A * x + c = 0. Se x0 compatível é fornecido na entrada, x0 é retornado, senão um x0 compatível, se existir, será retornado. 

 4. Eliminação de Gauss-Jordan
A determina»cão da solução do sistema usando a Eliminação de Gauss-Jordan é feita por meio da função rref(), que aplica a decomposiçãoo LU à esquerda. A sintaxe da função rref() é:  R = rref(A). Assim, devemos gerar a matriz aumentada Aum = [A|b] e aplicar a função rref().

 Aum = [A b];
w = rref(Aum);
  
Desse modo, a última coluna da matriz w corresponde a solução do sistema, como pode ser observado na Figura 10.
Figura 9 - Matriz ampliada do sistema.
Figura 10 - Matriz reduzida à forma escada.

Referências

[1] Wikipedia. Sistema de equações lineares. 2017. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares>. Acesso em: 03/12/2017.
[2] LOPES, Luís Cláudio Oliveira. Utilizando o Scilab na resolução de problemas de engenharia química. Curitiba, 2004. 

Scripts testados com: Scilab 5.5.2 (64-bit)
                                       Scilab 6.0.0 (64-bit)
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