Interpolação Polinomial

Interpolação Polinomial

O que é? [1]

Em matemática, denomina-se interpolação o método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.

Aplicação [1]

Em engenharia e ciência, dispõe-se habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de uma amostragem ou de um experimento. Através da interpolação, pode-se construir uma função que aproximadamente se ajuste nestes dados pontuais, conferindo-lhes, então, a continuidade desejada.

Outra aplicação da interpolação é a aproximação de funções complicadas por funções mais simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que seja possível avaliá-la de forma eficiente. Podemos, então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro.

A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada) de uma função, bastando para tanto conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no contra-domínio da função). A função resultante garantidamente passa pelos pontos fornecidos, e, em relação aos outros pontos, pode ser considerada um mero ajuste.
 

*Exemplo. Encontre o polinômio interpolador do conjunto de pontos {(0, 1) ,(1, 6), (2, 5), (3, -8)}.  
Solução. Como o conjunto consiste de 4 pontos, o polinômio interpolador deve ser da forma:

 

As condições de interpolação são p(xi) = yi, i = 0, 1, 2, 3, o que nos leva ao sistema linear:

cuja solução é a0 = 1, a1 = 6, a2 = 0 e a3 = -1. Portanto, o polinômio interpolador é p(x) = 1 + 6x - x3. Veja Figura 1.

Figura - 1.

  
No Scilab este procedimento pode ser realizado conforme script apresentado abaixo.

Figura 2.

Nas linhas 1 e 2 são declarados vetores com as coordenadas fornecidas pelo exercício. Um vetor armazena as coordenadas em x e o outro as coordenadas em y. Na linha 3 é definido um polinômio interpolador genérico. Na linha 4 é feita a determinação dos coeficientes do polinômio interpolador, pela divisão de yi por A. Na linha 5 é construido o polinômio interpolador (p) através da função poly(), onde "a" são os coeficientes e 'x' é a variável do mesmo, 'c' é utilizado para indicar para a função poly() que foi fornecido coeficientes e não raízes (r - roots) para a criação do polinômio. 

Figura 3.

Na linha 6 a função linspace() aloca na variável xx um vetor que vai de -0.5 até 3.25, como o número de elementos não foi especificado, por padrão serão produzidos 100 elementos. 

Figura 4.

Por fim, na linha 7 com a função plot() é plotado xi em função de yi utilizando o símbolo "o" em vermelho (r-red) (representa os pontos à serem interpolados). Continuando, ainda na função poly(), xx é plotado em função do polinômio interpolador, a função horner() tem a finalidade de avaliar o polinômio dentro do intervalo desejado, ou seja, gerar valores de "p" para serem utilizados por plot(). "p" é plotado na cor azul (b - blue) em linha contínua (-).

Figura 5.

  

 

*NOTA: Exercício retirado do livro Cálculo Numérico: um livro colaborativo, versão Scilab, de 6 de setembro de 2017.
[1] Interpolação. Wikipédia. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Interpola%C3%A7%C3%A3o>. Acesso em: 10/05/2018.